Consigne: Soit $$F_N(x)=\sum^N_{n=0}\frac1{(nx+1)^2}\quad\text{ pour }\quad x\in\;]0,\infty[,N\geqslant0$$
1. Montrer que la suite de fonctions \((F_N)_N\) converge simplement sur \(]0,+\infty[\). On notera $$F(x)=\sum^\infty_{n=0}\frac1{(nx+1)^2}=\lim_{N\to+\infty}F_n(x)$$
2. Montrer que l'on a pas de convergence uniforme sur \(]0,+\infty[\)
3. Montrer que \(\forall a\gt 0\), on a convergence uniforme sur \([a,\infty[\)

Convergence simple : on vérifie que la série est convergente
Soit \(x\gt 0\) fixé
\(f_n(x)=\frac1{(nx+1)^2}\geqslant0\) et $$f_n(x)\underset{+\infty}\sim\frac1{(nx)^2}=\underbrace{\frac1{x^2}}_{cste}\times\underbrace{\frac1{n^2}}_{\text{t.g. Riemann CV}}$$
\(F_N(x)\) converge donc simplement

CVU \(\to\) trouver \(N,M,\varepsilon\) qui ne respectent pas le critère de Cauchy
\((F_N)_N\) converge uniformément d'après le critère de Cauchy si et seulement si : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_\varepsilon,\forall N,M\geqslant N_\varepsilon,\qquad\sup_x\lvert F_N(x)-F_M(x)\rvert\lt \varepsilon$$
\((F_N)_N\) ne satisfait pas le critère de Cauchy uniforme si : $$\exists\varepsilon\gt 0,\forall N_0,\exists N,M\geqslant N_0,\qquad\sup_x\lvert F_N(x)-F_M(x)\rvert\geqslant\varepsilon$$
Pour \(\varepsilon=1\), \(\forall N\in{\Bbb N}\) et \(M=N=1\), on a : $$\sup_{x\gt 0}\lvert F_M(x)-F_N(x)\rvert=1\geqslant\varepsilon=1$$ donc il n'y a pas de convergence uniforme

Convergence uniforme \(\to\) majorer par une série convergente

Soit \(a\gt 0\) fixé
Pour \(x\in[a,+\infty[\), \(0\leqslant f_n(x)\leqslant f_n(a)=\frac1{(na+1)^2}\)
$$\begin{align}\forall N,M,\sup_{x\in[a,\infty[}\lvert F_N(x)-F_M(x)\rvert&=\sup_{x\in[a,\infty[}\sum^N_{n=M+1}f_n(x)\\ &\leqslant\sup_{x\in[a,\infty[}\sum^N_{n=M+1}\frac1{(na+1)^2}\end{align}$$
La série \(\sum^\infty_{n=0}\frac1{(na+1)^2}\) est convergente, donc on a Cauchy
Donc la série de fonctions converge uniformément sur \([a,+\infty[\)

Consigne:
1. On fixe \(x\gt 0\). Observer que l'on a un encadrement $$\int^{n+1}_n\frac x{1+t^2x^2}\,dt\leqslant\frac x{1+n^2x^2}\leqslant\int^n_{n-1}\frac x{1+t^2x^2}\,dt$$ pour tout \(n\geqslant1\)
2. Obtenir à partir du résultat précédent un encadrement par des intégrales du reste de la série de fonctions $$R_N(x)=\sum^{+\infty}_{n=N+1}\frac x{1+n^2x^2}$$ puis exprimer la valeur de ces intégrales
3. Montrer en utilisant cet encadrement que \(\sup_{x\in]0,+\infty[}\lvert R_N(x)\rvert\) ne tend pas vers zéro quand \(N\to+\infty\) et conclure que la convergence de la série de fonctions \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac x{1+n^2x^2}\) n'est pas uniforme sur \(]0,+\infty[\)
4. Montrer cependant que l'on a \(\sup_{x\in[a,+\infty[}\lvert R_N(x)\rvert\leqslant\frac\pi2-\arctan(Na)\) et retrouver que la convergence de \(S(x)\) est uniforme sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a\gt 0\)

1° : étudier les variations de la fonction \(t\mapsto f(t,x)\)
Soit \(x\gt 0\) fixé
On étudie la monotonie de \(t\mapsto f(t,x)=\frac x{1+t^2x^2}\)
$$\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)=\frac{-2tx^3}{(1+t^2x^2)^2}\lt 0$$ pour \(x\) fixé, la fonction \(t\mapsto f(t,x)\) est donc décroissante

2° : majoration et minoration du reste via relation de Chasles
\(\forall x\gt 0\) fixé, on a : $$\begin{align}&f(n+1,t)\leqslant f(t,x)\leqslant f(n,t)\\ \implies& f(n+1,x)\leqslant\int^{n+1}_nf(t,x)\,dt\leqslant f(n,x)\cdot1\end{align}$$ et avec \(n\) remplacé par \(n-1\) : $$f(n,x)\leqslant\int^n_{n-1}f(t,x)\,dx$$
2: $$\begin{align} R_N(x)&=\sum^{+\infty}_{n=N+1}\frac x{1+n^2x^2}\\ &\leqslant\int^{+\infty}_N\frac x{1+(tx)^2}\,dx\\ &=\lim_{R\to+\infty}\arctan(Rx)-\arctan(Nx)\\ &=\frac\pi2-\arctan(Nx)\end{align}$$ de même, \(R_N(x)\geqslant\frac\pi2-\arctan((N+1)x)\)

3° : le \(\sup\) n'est pas nul \(\to\) pas de convergence uniforme
D'après l'inéquation précédente, \(\frac\pi2\) est le plus petit des majorants de \(R_N(x)\)
Donc $$\lim_{N\to+\infty}\sup_{x\in]0,+\infty[}\lvert R_N(x)\rvert=\frac\pi2\ne0$$ donc il n'y a pas de convergence uniforme sur \(]0,+\infty[\)

$$\sup_{x\geqslant a}R_N(x)\leqslant\frac\pi2-\arctan(Na)\underset{N\to+\infty}\longrightarrow0$$ il y a donc la convergence uniforme pour \(\lvert x\rvert\geqslant a\)

(Intégrale - Intégration (Relation de Chasles))

Consigne: On étudie la série de fonctions $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}\sin^\alpha(x)\cos^n(x)$$ sur le domaine \([0,\pi/2]\), pour un paramètre \(\alpha\gt 0\)
Prouver la convergence et exprimer la somme de cette série en fonction des fonctions usuelles pour \(x\in[0,\pi/2]\)

Séparation de la constante
$$S(x)=\sin^\alpha(x)\sum^{+\infty}_{n=1}\cos^n(x)\quad\text{ pour }\quad x\ne0$$
Pour \(x=0\), \(S(0)=0\)

Formule des séries géométriques

$$=\sin^\alpha(x)\frac{\cos x}{1-\cos x}$$

(Série géométrique)

Consigne: On étudie la série de fonctions $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}\sin^\alpha(x)\cos^n(x)$$ sur le domaine \([0,\pi/2]\), pour un paramètre \(\alpha\gt 0\)
Cette série est convergente est peut être écrite sous la forme $$S(x)=\frac{\sin^\alpha(x)\cos(x)}{1-\cos x}$$
Prouver que pour \(\alpha\leqslant2\), la fonction \(S(x)\) n'est pas continue en \(0\), et par suite, la série ne peut converger uniformément sur \([0,\pi/2]\) dans ce cas

Continuité via les DL
$$\begin{align}\lim_{x\to0^+}S(x)&=\lim_{x\to0^+}\frac{x^\alpha \cos x}{x^2/2}\\ &=\begin{cases}\infty&&\text{si}\quad \alpha\lt 2\\ 2&&\text{si}\quad \alpha=2\\ 0&&\text{sinon.}&\end{cases}\end{align}$$

Justifier qu'il n'y a pas de convergence uniforme via la continuité

La série ne converge pas uniformément sur \([0,\pi/2]\) car les fonctions \(f_n(x)=\sin^\alpha(x)\cos^n(x)\) sont continues, mais la série \(S\) ne l'est pas

(Cosinus (Développement limité en 0), Sinus (Développement limité en 0), Convergence uniforme (série de fonctions) (Continuité de la limite uniforme))

Consigne: On étudie la série de fonctions $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}\sin^\alpha(x)\cos^n(x)$$ sur le domaine \([0,\pi/2]\), pour un paramètre \(\alpha\gt 0\)
Cette série est convergente est peut être écrite sous la forme $$S(x)=\frac{\sin^\alpha(x)\cos(x)}{1-\cos x}$$
De plus, \(S\) ne converge pas uniformément sur \([0,\pi/2]\) pour \(\alpha\leqslant2\)
Prouver que la série \(S(x)\) converge normalement sur \(]0,\pi/2[\) lorsque \(\alpha\gt 2\)

Existence du maximum
Pour \(x\in\,]0,\pi/2[\), on a : $$\begin{align}&f^\prime_n(x)=0\\ \iff&\alpha\sin^{\alpha-1}(x)\cos^{n+1}(x)=n\cos^{n-1}(x)\sin^{\alpha+1}(x)=0\\ \iff&\sin^{\alpha-1}(x)\cos^{n-1}(x)\left(\alpha\cos^2(x)-n\sin^2(x)\right)=0\\ \iff&\alpha\cos^2(x)-n\sin^2(x)=0\\ \iff&\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac\alpha n\\ \iff& x=\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\end{align}$$

Expression du maximum
$$\begin{align} f_n\left(\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\right)&=\sin^\alpha\left(\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\right)\cos^n\left(\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\right)\\ &=\left(\sin^2\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\right)^{\alpha/2}\left(\cos^2\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\right)^{n/2}\\ &=\left(\frac{\alpha/n}{1+\alpha/n}\right)^{\alpha/2}\left(\frac1{1+\alpha/n}\right)^{n/2}\end{align}$$

Convergence de la série des \(\sup\) via majoration

$$\begin{align}\left(\frac{\alpha/n}{1+\alpha/n}\right)^{\alpha/2}\left(\frac1{1+\alpha/n}\right)^{n/2}&\leqslant\left(\frac\alpha n\right)^{\alpha/2}\cdot1\end{align}$$ cette série converge car \(\alpha\gt 2\implies\alpha/2\gt 1\)
La série \(S\) converge donc normalement sur \(]0,\pi/2[\)